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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6: Teorema del Valor Medio

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5. Para las siguientes funciones, pruebe que el gráfico corta al eje $x$ sólo una vez.
a) $f(x)=-3x+\sin(x), x \in \mathbb{R}$

Respuesta

Para resolver este problema veamos lo siguiente. Primero entendamos cómo se comporta la función en $\pm \infty$

$\lim_{x \to +\infty} -3x+\sin(x) = -\infty $

$\lim_{x \to -\infty} -3x+\sin(x) = +\infty $

Ahora calculemos la derivada de $f$

$ f'(x) = -3 + \cos(x) $

Notemos que $f'(x)$ es siempre negativa $\Rightarrow$ Eso nos dice que $f(x)$ es siempre decreciente.

Entonces, teniendo en cuenta el comportamiento de $f$ en $+$ y en $- \infty$, y sabiendo que la función es continua y monótona decreciente, no tiene otra opción que haber cortado al eje $x$ una sola vez.
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Avatar Ezequiel 16 de diciembre 19:13
Buenas profe, al principio cuando tomás límite en este ejercicio, que hace el sen x? Osea oscila infinitamente, pero por que no le cambia nada al -infinito de la izquierda(hablando del primer límite)? Es debido a que no existe?
Avatar Flor Profesor 17 de diciembre 07:37
@Ezequiel Hola Eze! Cuando nosotros tenemos:

$\lim_{x \to +\infty} - 3x + \sin(x)$

Sacamos factor común "el que manda", que sería $x$ en este caso:

$\lim_{x \to +\infty} x \cdot (-3 + \frac{\sin(x)}{x})$

Entonces, $\frac{\sin(x)}{x}$ tiende a 0 cuando $x$ tiende a infinito (fijate que te quedó un cero por acotada), así que todo el paréntesis tiende a -3... 

Tenemos entonces algo que tiende a $+\infty$ multiplicando a algo que tiende a $-3$, por regla de signos te queda $-\infty$ 

Esos son los pasos intermedios cuando hacemos ese límite! Avisame si queda más claro
Avatar Ezequiel 17 de diciembre 12:27
@Flor Jajajja, sí, ahora la ví. Gracias! 
Avatar Benjamin 9 de mayo 18:19
Consulta flor, hay algo de teoria que tenga que ver antes de ver para arrancar esta practica, sacando obviamente lo que venimos viendo de anteriores practicas y L´Hopital? Porque no entiendo muy bien el punto de estos ejercicios por lo menos del 5, como que nose por donde encararlos
Avatar Flor Profesor 9 de mayo 20:07
@Benjamin Hola Benja! Este ejercicio usa la idea que después en Estudio de Funciones vamos a ver todo el tiempo y es la relación entre el signo de $f'(x)$ en un intervalo y si entonces $f$ crece o decrece... si tenés que priorizar, de esta práctica claramente son los ejercicios de continuidad y derivabilidad donde ya aplicas L'Hopital y después con la Práctica 7 vas a tener para entrenerte un rato largo, porque son muchos ejercicios y largos (y tené en cuenta que dos ejercicios del parcial salen de lo que vemos en la Práctica 7)
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